Bounded Dirichlet inverse

From Polymath1Wiki
Jump to: navigation, search

Every completely-multiplicative [math]\pm 1[/math] sequence has Dirichlet inverse bounded by [math]1[/math] (express the Dirichlet series as a product over primes). The longest discrepancy-2 sequence with this property has length [math]246[/math]. (Are all such maximal sequences completely multiplicative?)

The longest discrepancy-2 sequence with Dirichlet inverse bounded by [math]2[/math] has length [math]389[/math]. Here is an example:

+1, -1, +1, +1, -1, -1, +1, -1, -1, +1, -1, +1, +1, -1, -1, +1,
-1, +1, +1, -1, +1, +1, -1, -1, +1, -1, -1, +1, -1, +1, +1, -1,
-1, +1, -1, -1, +1, -1, +1, +1, -1, -1, +1, -1, +1, +1, -1, +1,
+1, -1, -1, +1, -1, +1, +1, -1, +1, +1, -1, -1, +1, -1, -1, +1,
-1, +1, +1, -1, -1, +1, -1, +1, +1, -1, +1, +1, -1, -1, -1, -1,
+1, +1, -1, +1, +1, -1, -1, +1, +1, -1, +1, -1, +1, +1, -1, -1,
+1, -1, +1, +1, -1, +1, -1, -1, -1, +1, -1, -1, +1, -1, +1, +1,
+1, -1, +1, -1, -1, +1, -1, +1, +1, -1, -1, +1, -1, +1, -1, -1,
+1, +1, +1, -1, +1, -1, +1, +1, -1, +1, -1, -1, -1, +1, -1, -1,
+1, -1, +1, +1, +1, -1, -1, -1, +1, +1, -1, +1, +1, +1, -1, +1,
-1, -1, +1, -1, +1, +1, -1, -1, +1, -1, -1, +1, -1, +1, +1, -1,
-1, -1, +1, +1, +1, -1, +1, +1, -1, -1, +1, -1, -1, +1, -1, +1,
+1, -1, -1, +1, +1, -1, -1, -1, +1, +1, -1, -1, +1, +1, +1, +1,
-1, +1, -1, -1, -1, +1, -1, +1, +1, -1, +1, +1, -1, -1, +1, -1,
-1, -1, +1, +1, +1, -1, -1, +1, -1, +1, +1, -1, -1, +1, +1, -1,
-1, -1, +1, +1, -1, +1, +1, -1, -1, +1, -1, -1, +1, +1, +1, +1,
-1, -1, +1, -1, +1, -1, -1, +1, +1, -1, +1, +1, -1, -1, +1, -1,
+1, +1, -1, -1, +1, +1, -1, +1, -1, +1, -1, -1, -1, +1, -1, +1,
+1, -1, +1, +1, -1, -1, +1, -1, +1, -1, -1, +1, +1, +1, -1, +1,
-1, -1, +1, -1, -1, +1, +1, -1, +1, -1, +1, -1, -1, +1, +1, -1,
-1, +1, -1, +1, +1, -1, +1, +1, -1, -1, +1, -1, -1, +1, -1, +1,
-1, +1, +1, +1, -1, -1, +1, -1, +1, +1, -1, -1, +1, -1, -1, +1,
-1, +1, +1, +1, -1, -1, +1, -1, +1, -1, +1, +1, -1, +1, -1, -1,
+1, +1, -1, -1, +1, -1, +1, +1, -1, +1, -1, -1, -1, +1, +1, -1,
+1, -1, -1, +1, +1

The longest discrepancy-2 sequence with Dirichlet inverse bounded by [math]3[/math] has length at least [math]489[/math].