T2(x) = -x

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This sequence, of length [math]614[/math], satisfies [math]x_{2n} = -x_n[/math] for all [math]n[/math]:

0+--+-++--+--+-++-++--+-++-++--+-++--+--+
-+--++--+-++--+-++++---+--+-++-++--+-++--
+--++-+--+-++-+--++--+-++-++--++-+-+---++
-+-+--++-++--++-+-++--+--+-++--+--+-++-++
--+++----+++--+-+--++--+-++--++++--+--+-+
+-++--+-++--+--+-++---++--++--++-+-++-+--
++--++-++-+----+++-+-++-+--+--++--++---++
-++--+-++--+--+-++-++--+++---++-+-++--+--
+++--+-+--+++-+-+--+-+--+++--++---+-++---
++++--++--+--+-++-+-+-+--+-++--+++--++--+
-++--+--+++---+--+-++++---+-++-++----++-+
++----++-++-+-++-+--+--++--+--+-+++--+++-
-+--+++----+++---++--++-+++-+--+---++--++
+-+-++---+++---+-++-+-++-+----++-+++--+--
++---++-++-++----++-++--+++---+--+-++--+-

Here's one of length [math]594[/math], the previous record:

0+--+-++--+--+-++-++--+-++--+--+-++
--+-++-+--++--+-++-++--+-++--+--+-+
+-++--+--+-++--++++--+--+-++-++----
+++-+--+-++--+--+-++-++--+-++-++--+
-++--+--+-++--+-++-++--+--+-++-+-+-
+--+++---+-++-++--+--+--+-++-+++-+-
---+-+++-++-+---+--+-++-++--+++---+
--+-+++-+--+-++-++--+-++--+--+-++-+
+----++-++--+-++--+--+-++-++--++-+-
++--+--+-++-++-+---+--+-++--++--++-
-++-++---+-++-+-++-++--+-++--+--+-+
+--+-++--+-++-++--+--+--+-+-++--++-
+-+-++--++-+-+--+--+-++--++++-+---+
-++-++--+-++--+--+++--+---++-+++--+
+-+---++-+-+--++--+++---++-+-++--+-
-+-++--++---++-++--+-+--+++-+-++---
-++++-+-+--+--++---++++--++--+-++-+

Here's one of length [math]584[/math], the record before that:

0+--+-++--++---++-+--+-++++-+--+-++---+-++--+
+-+-+-+-++---+-++--++---++-+++---++-+--+++---
-++--+++-++---+--+-++++-+---+--+-++-++---++-+
++--+--+--+-+-++-+++----+++--+-++-+-+--+++-+-
+----++-+--+-+-+++-+-++-+-+---+-+--+++-+-+-+-
-++--+++-+---+++--++--+-++--+--+-+-++-+--++-+
-+--+++---+++---+++--++--++----+++-+---++-+-+
++--+---++-+--+++-+--++--++--+++--+-+--++--++
-++-+-+-+--+--++--+++--++---++---+-+++-++--+-
-++--++--+-+++--++--++-+--+-+-++---++-++---++
+----++-++-+-+-++--++-+-+--+-+--+-+--+-++-++-
++--+--+-+--++-++--++--++-+-++---+++--+--++-+
+---+++--+-+--+-+-++-+-+-++-+-+--+-+--+-++---

A more colourful display of this sequence can be found on this page.

This sequence has various multiplicative properties that are not implied by the basic constraint. Writing [math]a=\pm b[/math] to mean that the beginning of the a-sequence closely resembles the beginning of the b-sequence, we have the following relationships: 2=5=17, 3=-15, 7=-9, 11=-13. In addition, the 3-sequence starts pretty similarly to the 13-sequence, and consequently the 11-sequence starts pretty similarly to the 15-sequence.