Forced Drifts in Multiplicative Sequences: Difference between revisions

From Polymath Wiki
Jump to navigationJump to search
Newer edit →
OBryant (talk | contribs)
109 edits
Assigning values to primes forces a multiplicative function to have drift
 
OBryant (talk | contribs)
109 edits
No edit summary
Line 7: Line 7:
== drift 2 ==
== drift 2 ==


Tree representation of data
[http://obryant.files.wordpress.com/2010/01/drift2loose.png Tree representation of data]


<table border="1">
<table border="1">
Line 17: Line 17:


== drift 3 ==
== drift 3 ==
[http://obryant.files.wordpress.com/2010/01/drift3loose.png Tree representation of data]


<table border="1">
<table border="1">
Line 36: Line 38:


== drift 4 ==
== drift 4 ==
[http://obryant.files.wordpress.com/2010/01/drift4loose.png Tree representation of data]


<table border="1">
<table border="1">
Line 85: Line 89:
== drift 5 ==
== drift 5 ==


[http://obryant.files.wordpress.com/2010/01/drift5loose.png Tree representation of data]
<p><code>
<table border="1">
<table border="1">
<tr><th>N</th><th>k</th><th>2</th><th>3</th><th>5</th><th>7</th><th>11</th><th>13</th><th>17</th><th>19</th><th>23</th><th>29</th><th>31</th><th>37</th><th>41</th><th>43</th><th>47</th><th>53</th><th>59</th><th>61</th><th>67</th><th>71</th><th>73</th><th>79</th><th>83</th><th>89</th><th>97</th><th>101</th><th>103</th><th>107</th><th>109</th><th>113</th><th>127</th><th>131</th></tr>
<tr><th>N</th><th>k</th><th>2</th><th>3</th><th>5</th><th>7</th><th>11</th><th>13</th><th>17</th><th>19</th><th>23</th><th>29</th><th>31</th><th>37</th><th>41</th><th>43</th><th>47</th><th>53</th><th>59</th><th>61</th><th>67</th><th>71</th><th>73</th><th>79</th><th>83</th><th>89</th><th>97</th><th>101</th><th>103</th><th>107</th><th>109</th><th>113</th><th>127</th><th>131</th></tr>
Line 716: Line 723:
<tr><td>20</td><td>19</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr>
<tr><td>20</td><td>19</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr>
</table>
</table>
</code></p>


== drift 6 ==
== drift 6 ==


The data for drift 6 is not complete. Kevin has the data for 2 -> 1, but 2 -> -1 doesn't terminate in reasonable time (it gets stuck around modified the Walters example).
The data for drift 6 is not complete. Kevin has the data for 2 -> 1, but 2 -> -1 doesn't terminate in reasonable time (it gets stuck around modified the Walters example).

Revision as of 16:42, 28 January 2010

Each row of each table below give N,k such that, if a multiplicative function f behaves on the primes as described in that row of that table, then

[math]\displaystyle{ f(N-k+1)+ \dots f(N) }[/math]

has absolute value at least drift.

Specifically, for each value of drift, the tree of assignments to primes is traversed depth first (exploring 1 before -1). Each time an assignment is made to a prime p, then the values of the implied multiplicative function are updated (they are +1,-1,undetermined). Then for each N (starting with N=1), k (also starting at k=1) is incremented until the interval (N-k,N] contains a sufficient imbalance in +1,-1 to overwhelm the undetermined entries and generate a sufficient drift. If there is no such k, then N is incremented. This continues until a drift is found or [math]\displaystyle{ N=p^2+1 }[/math], in which case the next largest prime is assigned a value.

drift 2

Tree representation of data

Nk23
22+
42-+
32--

drift 3

Tree representation of data

Nk23571113
33++
55+-+
93+--+
73+---
53-++
113-+-++
135-+-+-+
153-+-+--
73-+--
63--+
105---+
87----


drift 4

Tree representation of data

Nk235711131719232931374143
44++
1010+-+
1610+--++
164+--+-+
134+--+--
1710+---+++
524+---++-
1410+---+-
128+----
1210-++++
1614-+++-+
278-+++--
166-++-+
116-++--
124-+-++
354-+-+-++
288-+-+-+-++
304-+-+-+-+-+
4014-+-+-+-+--++
2614-+-+-+-+--+-++
454-+-+-+-+--+-+-
4514-+-+-+-+--+--
3320-+-+-+-+---
196-+-+-+--
284-+-+--
84-+--
74--++
1714--+-+++
566--+-++-
354--+-+-+
1812--+-+--
126--+--
116---++
1712---+-++
254---+-+-++
1174---+-+-+-+
3014---+-+-+--
204---+-+--
144---+--
168----+
164-----+
1312------

drift 5

Tree representation of data

Nk2357111317192329313741434753596167717379838997101103107109113127131
99++
99+-++
1111+-+-+
2121+-+--++
2121+-+--+-+
3333+-+--+--+++
5151+-+--+--++-++
5151+-+--+--++-+-+
13017+-+--+--++-+--
3913+-+--+--++--
5121+-+--+--+-+++
5121+-+--+--+-++-+
13017+-+--+--+-++--
3913+-+--+--+-+-
315+-+--+--+--
4313+-+--+---+++++
939+-+--+---++++-
5121+-+--+---+++-++
955+-+--+---+++-+-
939+-+--+---+++--
3929+-+--+---++-
3121+-+--+---+-
2919+-+--+----
155+-+---
159+--+++
1711+--++-+
1913+--++--+
3125+--++---+++
5145+--++---++-+++
13345+--++---++-++-
519+--++---++-+-++
6517+--++---++-+-+-+
5523+--++---++-+-+--
4311+--++---++-+--
519+--++---++--+++
6517+--++---++--++-+
5523+--++---++--++--
4311+--++---++--+-
419+--++---++---
5145+--++---+-++++
5145+--++---+-+++-+
1895+--++---+-+++--
35213+--++---+-++-+
4311+--++---+-++--
35213+--++---+-+-++
4311+--++---+-+-+-
419+--++---+-+--
3517+--++---+--
279+--++----
175+--+-++
197+--+-+-+
579+--+-+--
185+--+--+
325+--+---++++
3811+--+---+++-+
2895+--+---+++--+
3445+--+---+++---+
445+--+---+++----
665+--+---++-+
2895+--+---++--++
1757+--+---++--+-+
445+--+---++--+--
2895+--+---++---+
4223+--+---++----
245+--+---+-
2213+--+----
1811+---+++
2215+---++-+
2619+---++--+
1207+---++---+
1565+---++----+
2539+---++-----++
4115+---++-----+-
3913+---++------
195+---+-++
239+---+-+-+
357+---+-+--++
379+---+-+--+-+
2097+---+-+--+--+
1895+---+-+--+---++
5511+---+-+--+---+-
5519+---+-+--+----
297+---+-+---
239+---+--++
3911+---+--+-++
395+---+--+-+-+
17111+---+--+-+--+
1725+---+--+-+---+
5735+---+--+-+----
297+---+--+--
379+---+---++++
1559+---+---+++-
5117+---+---++-++
5117+---+---++-+-+
5117+---+---++-+--+
615+---+---++-+---+++
7317+---+---++-+---++-+++
7325+---+---++-+---++-++-
8529+---+---++-+---++-+-+++
9337+---+---++-+---++-+-++-+
999+---+---++-+---++-+-++--+
58411+---+---++-+---++-+-++---
52935+---+---++-+---++-+-+-
7717+---+---++-+---++-+--
699+---+---++-+---++--
1235+---+---++-+---+-+
6359+---+---++-+---+--
5551+---+---++-+----
5111+---+---++--++
5111+---+---++--+-+
3007+---+---++--+--++
34815+---+---++--+--+-+++
7773+---+---++--+--+-++-
6965+---+---++--+--+-+-
6359+---+---++--+--+--
5551+---+---++--+---
4137+---+---++---
2925+---+---+-
2723+---+----
365+----++
3319+----+-+++
3319+----+-++-+
3723+----+-++--+
4329+----+-++---++
5137+----+-++---+-+
535+----+-++---+--+
3725+----+-++---+---
1725+----+-++----+
457+----+-++-----
1217+----+-+-+
2925+----+-+--
335+----+--+++
379+----+--++-+
1907+----+--++--
2925+----+--+-
2319+----+---
139+-----
1311-+++++
1715-++++-+
2119-++++--+
2725-++++---+
295-++++----+
3511-++++-----+
937-++++------
1715-+++-++
2119-+++-+-+
2321-+++-+--+
2927-+++-+---+
3257-+++-+----
289-+++--
155-++-++
177-++-+-+
2717-++-+--++
3713-++-+--+-+++
499-++-+--+-++-+
415-++-+--+-++--
499-++-+--+-+-++
4121-++-+--+-+-+-
3919-++-+--+-+--
499-++-+--+--+++
4121-++-+--+--++-
3919-++-+--+--+-
3111-++-+--+---
3713-++-+---++++
4521-++-+---+++-+
4521-++-+---+++--+
4925-++-+---+++---+
1885-++-+---+++----
4513-++-+---++-++
4513-++-+---++-+-+
4917-++-+---++-+--+
5337-++-+---++-+---++
5921-++-+---++-+---+-
5315-++-+---++-+----
455-++-+---++--++
499-++-+---++--+-+
7113-++-+---++--+--+++++
34859-++-+---++--+--++++-
1365-++-+---++--+--+++-
12613-++-+---++--+--++-
5943-++-+---++--+--+-
5337-++-+---++--+---
4125-++-+---++---
4513-++-+---+-+++
4513-++-+---+-++-+
4917-++-+---+-++--+
3785-++-+---+-++---
37811-++-+---+-+-+
4125-++-+---+-+--
3115-++-+---+--
237-++-+----
165-++--+
207-++---++
2613-++---+-+
4611-++---+--+++++
1767-++---+--++++-
487-++---+--+++-++
1237-++---+--+++-+-+++
8217-++---+--+++-+-++-++
1487-++---+--+++-+-++-+-
13515-++---+--+++-+-++--
2475-++---+--+++-+-+-+
629-++---+--+++-+-+--
587-++---+--+++-+--
4413-++---+--+++--
409-++---+--++-
345-++---+--+-
347-++---+---
817-++----+
589-++-----++
4813-++-----+-+++++
7013-++-----+-++++-++++
13513-++-----+-++++-+++-
1255-++-----+-++++-++-
1269-++-----+-++++-+-
545-++-----+-++++--
7013-++-----+-+++-+++++
35535-++-----+-+++-++++-+
2885-++-----+-+++-++++--
1255-++-----+-+++-+++-
1269-++-----+-+++-++-
545-++-----+-+++-+-
5225-++-----+-+++--
2475-++-----+-++-+++++
8217-++-----+-++-++++-++
8217-++-----+-++-++++-+-+
7425-++-----+-++-++++-+--
6819-++-----+-++-++++--
2475-++-----+-++-+++-+
6213-++-----+-++-+++--
545-++-----+-++-++-
5225-++-----+-++-+-
4417-++-----+-++--
4013-++-----+-+-
325-++-----+--
2419-++------
135-+-+++
2719-+-++-+++
295-+-++-++-+
317-+-++-++--+
4925-+-++-++---+++
1307-+-++-++---++-
939-+-++-++---+-+
4313-+-++-++---+--
399-+-++-++----
295-+-++-+-++
317-+-++-+-+-+
709-+-++-+-+--
2311-+-++-+--
567-+-++--
2315-+-+-++++
2921-+-+-+++-+
3123-+-+-+++--+
355-+-+-+++---
299-+-+-++-++
3111-+-+-++-+-+
355-+-+-++-+--
1207-+-+-++--+
405-+-+-++---++
12411-+-+-++---+-+
527-+-+-++---+--++
6417-+-+-++---+--+-+++
1229-+-+-++---+--+-++-
1207-+-+-++---+--+-+-
6811-+-+-++---+--+--+++
7417-+-+-++---+--+--++-++
4757-+-+-++---+--+--++-+-+
805-+-+-++---+--+--++-+--
35535-+-+-++---+--+--++--
6231-+-+-++---+--+--+-
6029-+-+-++---+--+---
4413-+-+-++---+---
3417-+-+-++----
299-+-+-+-+++
3111-+-+-+-++-+
4121-+-+-+-++--++
997-+-+-+-++--+-++
477-+-+-+-++--+-+-
455-+-+-+-++--+--
997-+-+-+-++---+++
4717-+-+-+-++---++-
4515-+-+-+-++---+-
4515-+-+-+-++----
315-+-+-+-+-++
4115-+-+-+-+-+-++
9111-+-+-+-+-+-+-
1907-+-+-+-+-+--
4115-+-+-+-+--+++
4923-+-+-+-+--++-++
5933-+-+-+-+--++-+-++
6741-+-+-+-+--++-+-+-++
12755-+-+-+-+--++-+-+-+-
6125-+-+-+-+--++-+-+--
6711-+-+-+-+--++-+--+++
7835-+-+-+-+--++-+--++-+
4779-+-+-+-+--++-+--++--++
7913-+-+-+-+--++-+--++--+-
737-+-+-+-+--++-+--++---
6125-+-+-+-+--++-+--+-
7835-+-+-+-+--++-+---+++
855-+-+-+-+--++-+---++-+++
9111-+-+-+-+--++-+---++-++-+
10323-+-+-+-+--++-+---++-++--+++
52537-+-+-+-+--++-+---++-++--++-
12141-+-+-+-+--++-+---++-++--+-++
12141-+-+-+-+--++-+---++-++--+-+-+
12111-+-+-+-+--++-+---++-++--+-+--+
17055-+-+-+-+--++-+---++-++--+-+---++
13541-+-+-+-+--++-+---++-++--+-+---+-
12733-+-+-+-+--++-+---++-++--+-+----
10511-+-+-+-+--++-+---++-++--+--
995-+-+-+-+--++-+---++-++---
7939-+-+-+-+--++-+---++-+-
7333-+-+-+-+--++-+---++--
6929-+-+-+-+--++-+---+-
6121-+-+-+-+--++-+----
455-+-+-+-+--++--
4911-+-+-+-+--+-+++
5921-+-+-+-+--+-++-++
18917-+-+-+-+--+-++-+-+
1237-+-+-+-+--+-++-+--
6711-+-+-+-+--+-++--+++
7519-+-+-+-+--+-++--++-++
4779-+-+-+-+--+-++--++-+-+
52935-+-+-+-+--+-++--++-+--
21617-+-+-+-+--+-++--++--
1245-+-+-+-+--+-++--+-
18917-+-+-+-+--+-++---+
6213-+-+-+-+--+-++----
1907-+-+-+-+--+-+-+
9411-+-+-+-+--+-+--
1907-+-+-+-+--+--++
6413-+-+-+-+--+--+-+++
6125-+-+-+-+--+--+-++-
7625-+-+-+-+--+--+-+-+++
35535-+-+-+-+--+--+-+-++-
12755-+-+-+-+--+--+-+-+-
6231-+-+-+-+--+--+-+--
5423-+-+-+-+--+--+--
4413-+-+-+-+--+---
4813-+-+-+-+---++++
5823-+-+-+-+---+++-+
9035-+-+-+-+---+++--
25913-+-+-+-+---++-
25611-+-+-+-+---+-
3825-+-+-+-+----
207-+-+-+--
2813-+-+--++
277-+-+--+-+
295-+-+--+--+
317-+-+--+---+
355-+-+--+----
277-+-+---++
295-+-+---+-+
317-+-+---+--+
665-+-+---+---
197-+-+----
135-+--++
179-+--+-+
3511-+--+--+++
3511-+--+--++-+
375-+--+--++--+
1177-+--+--++---
237-+--+--+-
215-+--+---
179-+---++
3123-+---+-++++
3729-+---+-+++-+
4133-+---+-+++--+
4335-+---+-+++---+
8815-+---+-+++----
3729-+---+-++-++
1167-+---+-++-+-
3317-+---+-++--
1217-+---+-+-+
2913-+---+-+--
215-+---+--
2719-+----+++
317-+----++-++
439-+----++-+-+++
1369-+----++-+-++-
1725-+----++-+-+-+
4515-+----++-+-+--
399-+----++-+--
439-+----++--++++
1369-+----++--+++-
1725-+----++--++-+
4541-+----++--++--
3935-+----++--+-
3329-+----++---
2117-+----+-
2117-+-----
2017--++++++
3027--+++++-++
3835--+++++-+-++
4441--+++++-+-+-++
3445--+++++-+-+-+-
1257--+++++-+-+--
349--+++++-+--
697--+++++--
3027--++++-+++
3633--++++-++-+
665--++++-++--
1769--++++-+-+
4613--++++-+--+++
827--++++-+--++-
4027--++++-+--+-
3219--++++-+---
229--++++--
2611--+++-+++
307--+++-++-+
4623--+++-++--++
4623--+++-++--+-+
1257--+++-++--+--
3423--+++-++---
2211--+++-+-
187--+++--
249--++-++++
3015--++-+++-+
3257--++-+++--
309--++-++-++
3615--++-++-+-+
3817--++-++-+--+
5433--++-++-+---++++
6443--++-++-+---+++-+
12011--++-++-+---+++--
1885--++-++-+---++-
939--++-++-+---+-
6413--++-++-+----++++
12011--++-++-+----+++-
5631--++-++-+----++-
4823--++-++-+----+-
4419--++-++-+-----
369--++-++--++
3811--++-++--+-+
4619--++-++--+--++
3445--++-++--+--+-
5413--++-++--+---+++
6423--++-++--+---++-++
1227--++-++--+---++-+-
6011--++-++--+---++--
1895--++-++--+---+-
4435--++-++--+----
389--++-++---++
4617--++-++---+-++
5425--++-++---+-+-++
29713--++-++---+-+-+-+
1215--++-++---+-+-+--
29713--++-++---+-+--++
1215--++-++---+-+--+-
5647--++-++---+-+---
1257--++-++---+--
3223--++-++----
189--++-+-
145--++--
2017--+-++++
2421--+-+++-+
707--+-+++--
2421--+-++-++
5613--+-++-+-
577--+-++--
2611--+-+-++
267--+-+-+-+
1565--+-+-+--++
355--+-+-+--+-
359--+-+-+---
257--+-+--++
3113--+-+--+-++
4527--+-+--+-+-+++
13345--+-+--+-+-++-
22511--+-+--+-+-+-+
4313--+-+--+-+-+--
3445--+-+--+-+--++
4313--+-+--+-+--+-
4111--+-+--+-+---
4527--+-+--+--++++
4729--+-+--+--+++-+
5537--+-+--+--+++--+
5941--+-+--+--+++---+
1269--+-+--+--+++----
1257--+-+--+--++-
475--+-+--+--+-+++
9905--+-+--+--+-++-
4317--+-+--+--+-+-
4115--+-+--+--+--
337--+-+--+---
1913--+-+---
2513--+--++
257--+--+-+
1913--+--+--
137--+---
1611---+++
2621---++-+++
697---++-++-
225---++-+-
2211---++--
2419---+-++++
4237---+-+++-++++
12411---+-+++-+++-
1177---+-+++-++-
25611---+-+++-+-++
1725---+-+++-+-+-+
4415---+-+++-+-+--
389---+-+++-+--
1725---+-+++--++++
5337---+-+++--+++-++
5337---+-+++--+++-+-+
7011---+-+++--+++-+--++
1357---+-+++--+++-+--+-
6237---+-+++--+++-+---
4823---+-+++--+++--
1725---+-+++--++-+
4419---+-+++--++--
3813---+-+++--+-
327---+-+++---
3817---+-++-++++
4221---+-++-+++-+
2487---+-++-+++--
967---+-++-++-
427---+-++-+-+++
2487---+-++-+-++-
587---+-++-+-+-++++
607---+-++-+-+-+++-+
6411---+-++-+-+-+++--+
2487---+-++-+-+-+++---
485---+-++-+-+-++-
4621---+-++-+-+-+-
4621---+-++-+-+--
327---+-++-+--
427---+-++--++++
2487---+-++--+++-
8713---+-++--++-++
9035---+-++--++-+-++
6411---+-++--++-+-+-++
2487---+-++--++-+-+-+-
1195---+-++--++-+-+--
4831---+-++--++-+--
2487---+-++--++--
3215---+-++--+-
3013---+-++---
3413---+-+-++++
4221---+-+-+++-++
5433---+-+-+++-+-+++
6443---+-+-+++-+-++-+
645---+-+-+++-+-++--+
2465---+-+-+++-+-++---
485---+-+-+++-+-+-
469---+-+-+++-+--
1297---+-+-+++--++
4617---+-+-+++--+-
4617---+-+-+++---
4221---+-+-++-+++
5433---+-+-++-++-+++
6039---+-+-++-++-++-+
6443---+-+-++-++-++--+
2465---+-+-++-++-++---
485---+-+-++-++-+-
469---+-+-++-++--
5415---+-+-++-+-++++
6021---+-+-++-+-+++-+
6425---+-+-++-+-+++--+
30613---+-+-++-+-+++---
485---+-+-++-+-++-
4621---+-+-++-+-+-
4621---+-+-++-+--
327---+-+-++--
4215---+-+-+-++++
5225---+-+-+-+++-++
5427---+-+-+-+++-+-+
122511---+-+-+-+++-+--
549---+-+-+-+++--++
6419---+-+-+-+++--+-++
12411---+-+-+-+++--+-+-
1185---+-+-+-+++--+--
4811---+-+-+-+++---
1177---+-+-+-++-
4311---+-+-+-+-+++
5523---+-+-+-+-++-+
555---+-+-+-+-++--+
122511---+-+-+-+-++---
5523---+-+-+-+-+-++
555---+-+-+-+-+-+-+
122511---+-+-+-+-+-+--
4529---+-+-+-+-+--
3923---+-+-+-+--
4311---+-+-+--++++
917---+-+-+--+++-
5523---+-+-+--++-++
555---+-+-+--++-+-+
6111---+-+-+--++-+--++
2465---+-+-+--++-+--+-
7121---+-+-+--++-+---+++
9141---+-+-+--++-+---++-++
9111---+-+-+--++-+---++-+-+
915---+-+-+--++-+---++-+--+
8747---+-+-+--++-+---++-+---+
9929---+-+-+--++-+---++-+----
755---+-+-+--++-+---++--
1365---+-+-+--++-+---+-
12411---+-+-+--++-+----
4529---+-+-+--++--
3923---+-+-+--+-
3115---+-+-+---
215---+-+--
2511---+--+++
2915---+--++-+
4127---+--++--+++
2487---+--++--++-
2097---+--++--+-+
2487---+--++--+--
357---+--++---
2111---+--+-
2111---+---
157----++
179----+-+
2517----+--++
3729----+--+-+++
4133----+--+-++-+
2487----+--+-++--
337----+--+-+-
337----+--+--
407----+---
175-----++
2513-----+-+
577-----+--
2613------+
2613-------+
2019--------

drift 6

The data for drift 6 is not complete. Kevin has the data for 2 -> 1, but 2 -> -1 doesn't terminate in reasonable time (it gets stuck around modified the Walters example).

Retrieved from "https://michaelnielsen.org/polymath/index.php?title=Forced_Drifts_in_Multiplicative_Sequences&oldid=2890"