T2(x) = -x

This sequence, of length [math]\displaystyle{ 594 }[/math], satisfies [math]\displaystyle{ x_{2n} = -x_n }[/math] for all [math]\displaystyle{ n }[/math]:

0+--+-++--+--+-++-++--+-++--+--+-++
--+-++-+--++--+-++-++--+-++--+--+-+
+-++--+--+-++--++++--+--+-++-++----
+++-+--+-++--+--+-++-++--+-++-++--+
-++--+--+-++--+-++-++--+--+-++-+-+-
+--+++---+-++-++--+--+--+-++-+++-+-
---+-+++-++-+---+--+-++-++--+++---+
--+-+++-+--+-++-++--+-++--+--+-++-+
+----++-++--+-++--+--+-++-++--++-+-
++--+--+-++-++-+---+--+-++--++--++-
-++-++---+-++-+-++-++--+-++--+--+-+
+--+-++--+-++-++--+--+--+-+-++--++-
+-+-++--++-+-+--+--+-++--++++-+---+
-++-++--+-++--+--+++--+---++-+++--+
+-+---++-+-+--++--+++---++-+-++--+-
-+-++--++---++-++--+-+--+++-+-++---
-++++-+-+--+--++---++++--++--+-++-+

Here's one of length [math]\displaystyle{ 584 }[/math], which held the record for about ten minutes:

0+--+-++--++---++-+--+-++++-+--+-++---+-++--+
+-+-+-+-++---+-++--++---++-+++---++-+--+++---
-++--+++-++---+--+-++++-+---+--+-++-++---++-+
++--+--+--+-+-++-+++----+++--+-++-+-+--+++-+-
+----++-+--+-+-+++-+-++-+-+---+-+--+++-+-+-+-
-++--+++-+---+++--++--+-++--+--+-+-++-+--++-+
-+--+++---+++---+++--++--++----+++-+---++-+-+
++--+---++-+--+++-+--++--++--+++--+-+--++--++
-++-+-+-+--+--++--+++--++---++---+-+++-++--+-
-++--++--+-+++--++--++-+--+-+-++---++-++---++
+----++-++-+-+-++--++-+-+--+-+--+-+--+-++-++-
++--+--+-+--++-++--++--++-+-++---+++--+--++-+
+---+++--+-+--+-+-++-+-+-++-+-+--+-+--+-++---

A more colourful display of this sequence can be found on this page.