T m(x) = (+/-)T n(x)
1=-2=-5, 11=-13
This sequence, of length 974, satisfies the following relations exactly:
[math]\displaystyle{ x_{2n} = -x_n }[/math]
[math]\displaystyle{ x_{5n} = -x_n }[/math]
[math]\displaystyle{ x_{13n} = -x_{11n} }[/math]
0+--+-++--+--+-++-++--+-++-++- -+-++--+--+-++-++--+-++--+--+- ++-++----++-++--+-++--+--+-+++ -+--+-+--++--+-++-++--+-++--+- -+-++--+-++-+++-+--+-++--+--+- ++-++--+--+-++--+-++--++-+-+-+ +---+-++-++---+++--+--+-++-++- -+--+--+-++-++--+--+-++-++--+- ++--+--+-++-++--++---++--+-+-+ ++--+-++--++---++-+--++-++--+- -+-++--+-++-++--+-++--++-+--+- +--+++-+--+-++---++--++--+++-+ --+-+-+--+++-+-++----++-+++--+ -+--+-++--+-++-++--+-++--+--++ +---+-+--++++---+--+-+++---++- ++--+-++--+--+-++--+-++-++--+- -+-++++---+-++--++-+-++--+--+- ++-+--+++-+--+--+-++-++--++--- -+-++-++-++----++-++---++++-+- -+-++---+++--+-++--+--+-++-++- +---+--+-++-++--++-+--+--+-++- ++-++--+--+++----+++--+-++--++ --+++--+-+--++-++-+---++-+--+- +-++---++++--+--+++--+---++--+ +++---++-++---+++--+---+++-++- -+-++-+-+-+--+--+--+-+-++++--- ++--+-++--+--+-++-++-++--+-++- -+-++-+---++-+-++-+---+-++---+ -++-+-++-++---+++--+-+-+--+-+- ++-++-+---++-+---++-+++----++- -+-++++---++-+-++-+---+-++--++ -+-++-+---++-+--+--+-++-++--+- ++--++-+-+-+-++
[math]\displaystyle{ x_{11n} = -x_n }[/math] up to position 63 - and 63 emerges as a new anomaly.
617: 1 4 10 13 16 19 22 25 27 31 34 40 42 46 52 55 58 64
3478: 2 5 8 11 17 20 21 23 26 29 32 38 41 44 50 54 59 62 65 68
809: 18 37 45 61 72
3286: 9 36 74
873: 7 28 49 70
3222: 14 35 47 56
1458: 3 12 30 39 48 57 66
2637: 6 15 24 33 43 51 60 69 73
Sporadic
242: 67
1266: 53 71
3661: 63
49 appears to be in the wrong place, but the 49-sequence is equal to the 7-sequence as far as position 19.
Length 854:
0+--+-++--+--+-++-++--+-++-++- -+-++--+--+-++-++--+-++--+--+- ++-++----++-++--+-++--++-+-++- -+--+-+--++--+-++-++--+-++--+- -+-++--+-++-+++-+--+-++--+--+- ++-++--+--+-++---+++--++-+-++- +---+-++-++---+++--+--+-++-++- -+-++--+-++-+---++---++-++--+- ++--+--+-++-++--++---++--+-+-+ ++--+-++--++-+-++-+---+-++--+- -+-++--+-++-++--+-++--++-+--+- +-++-+-+--+-++---+++-++--+-++- --+-+-+--+++-+-++--+--+-+++--- -+-++-++--+-++-++--+-++----+++ +---+--+-++++---+--+-++--++-+- ++-+--+++-+--+-++----++-++--+- -+-++++---+-++--++-+-++--+--+- ++-+--+++-+--+--+-++-++--++--- -+-++-++-++----++-++---+++--++ -+-++---+-+-++-++--+--+-++--++ +--++--+-++-+---++-+--+--+-++- ++-++--+--+++----+++--+-++--++ --++---+++--+--++-++--++-+-++- +-+----+-+++-+--+++--++--+--+- +++---++-++---+++--+---+++-++- -+--+-+--++-++--+--+-+-++++-+- +---+--+-++--+-++-++--++-+-++- -+--+-++-++--+-++-+-+-+----+-+ -++-+-++-++-+--
Also [math]\displaystyle{ x_{11n} = -x_n }[/math] (which was not forced by constraint). The subsequences group as follows:
617: 1 4 10 13 16 19 22 25 27 31 34 40 42 46 52 55 58 64
3478: 2 5 8 11 17 20 21 23 26 29 32 38 41 44 50 54 59 62 65
809: 18 37 45
3286: 9 36
873: 7 28 49
3222: 14 35 47 56
1458: 3 12 30 39 48 57
2637: 6 15 24 33 43 51 60 63
1266: 53
Length 688:
0+--+-++--+--+-++-++--+-++-++- -+-++--+--+-++-++--+-++--+--+- ++-++--+-++-+---+-++--+--+-+++ -+--+-++--+--+-++-++--+-++-++- -+-++----++-++--+--+-++--++-++ +--++--+--+-++--+-++--++-+-+-+ +---+-++--++-+-++-+---+-++-++- -+-++--+-++-+---++-+-++--+--+- +--++--+-++-+++-+--+--+--+-+++ +---+-++--+--+-++-++---+++-+-- -++-+--+-++++---+-++--+--+-++- ++-++----++-++---+++--+--+++-- -++-+++--++--+-++-+----+++--++ -+-++---+-+-++-++--+-++--+--++ +--++--+-++-+---+--+-+++--+-+- ++-+--++--++---++-++--+-++--+- -++++--+--+-++-++--+-++--+---+ ++--+-++--+++---+-++-++--+-+-- -++-+-++--+--+-++-++--+-++-++- -+-++--+--+-+++----+-++--++++- +--+--++--+-++--++-+-+---++++- +---++-+--+++---+-++-++--+--++ ---++--+-++-+-+++----+++-+-++
This also satisfies [math]\displaystyle{ x_{7n} = -x_{11n} }[/math] which is interesting because it was not an original constraint.
The subsequences seem to group as follows (initial numbers are binary coded versions of the first part of each subsequence, the paired sequences are negatives of each other):
617: 1 4 10 16 19 25 31 34 40 46
3478: 2 5 8 17 20 23 32 38 41 47 50
873: 7 13 22 28 33 37 42 49 52
3222: 11 14 21 26 29 35 39 44
1458: 3 12 30 48
2637: 6 15 24 43 51
1833: 18 27 45
2262: 9 36
1=-2=-3
This is an example of a sequence of maximal length ([math]\displaystyle{ 470 }[/math]) satisfying [math]\displaystyle{ x = -T_2(x) = -T_3(x) }[/math]:
0+--+++--+-+--+-+--+++--+++--++---+-+--+-+-++++--+-+--+++--+ -++-+-+--++--++-+---++-++----+-+-++++--++---+++--+-+--+-+--+ ++---+++--++--+-+--+-++-++---+++--+-+-++-+-++----++++-+-+--+ +---++---+-+-++++----++-+++--+---++-++--++--+++---++--+-++-+ -+--+++-+--+---++-++-+--+++--++---+-++--++-+--+--+-++++-+--+ ---++++--++---+--+-+++--++---++++-+-+--+-+---+++--++--+-+--+ -++-+++--+--+++-+---+--+++-+-+-+--+-+-+++----++--+-+-++++--+ +-+-+----+++-+--+-++-+--+++--+-+--+-+-++-+--+++--++
1=-2=-5, 11=-13, 17=-19, 23=29
This sequence of length 974 is very similar to the one given above, differing in only four places, but it satisfies the additional constraints 17=-19 and 23=29 exactly.
0+--+-++--+--+-++-++--+-++-++--+-++--+--+-++-++--+-++--+--+- ++-++----++-++--+-++--+--+-+++-+--+-+--++--+-++-++--+-++--+- -+-++--+-++-+++-+--+-++--+--+-++-++--+--+-++--+-++--++-+-+-+ +---+-++-++---+++--+--+-++-++--+--+--+-++-++--+--+-++-++--+- ++--+--+-++-++--++---++--+-+-+++--+-++--++---++-+--++-++--+- -+-++--+-++-++--+-++--++-+--+-+--+++-+--+-++---++--++--+++-+ --+-+-+--+++-+-++----++-+++--+-+--+-++--+-++-++--+-++--+--++ +---+-+--++++---+--+-+++---++-++--+-++--+--+-++--+-++-++--+- -+-++++---+-++--++-+-++--+--+-++-+--+++-+--+--+-++-++--++--- -+-++-++-++----++-++---++++-+--+-++---+++--+-++--+--+-++-++- +---+--+-++-++--++-+--+--+-++-++-++--+--+++----+++--+-++--++ --+++--+-+--++-++-+---++-+--+-+-++---++++--+--+++--+---++--+ +++---++-++---+++--+---+++-++--+-++-+-+-+--+--+--+-+-++++--- ++--+-++--+--+-++-++-++--+-++--+--+-++--++---++-+--++-++---+ -++-+-++-++---+++--+-+-+--+-+-++-++-+---++-+---++-+++----++- -+-++++---++-+-++-+---+-++--++-+-++-+---++-+--+--+-++-++--+- ++--++-+-+-+-++
